Die besten Zahlen zwischen 0 und 10

von Georg Frost und Timotheus Schneidegger

 

Null

Nix (nicht: Nichts! Alle Philosophie ist Sprachkritik…)

Das Positions- oder Stellenwertsystem, deren erstes das babylonische war, erforderte ein Zeichen, um Leerstellen zu markieren. Unsere „101“ wäre sonst leicht mit „11“ zu verwechseln, ließen wir darin den Platz der Zehner leer und schrieben wir bloß „1 1“. Der Gedanke von Leere oder Nichts kam erst nachträglich dem im 3. Jht. v. Chr. erfundenen Platzhalter zu, der von den Indern „sunya“ („Leere“ im Sinne von „Leertaste“, nicht „das Nichts“) genannt wurde. Von den Arabern als „sifr“ übernommen, von Fibonacci zu „cephirum“ latinisiert, woraus sich „Chiffre“, „Ziffer“ und „Zero“ ableiteten. Weil dieses arabische Rechnen bis ins Spätmittelalter Teufelszeug war, durfte man dieses Chiffrieren (engl. „cypher“) nur heimlich betreiben, um von der Inquisition nicht mit amtlichem Abakus und römischen Ziffern totgeprügelt zu werden. Eine schicke Methode, um mit etwas Mengenlehre und Spieltheorie die komplette Mathematik aus der Null abzuleiten, hat John Horton Conway erfunden („On numbers and games“, 1976; vgl. Lichtwolf Nr. 20, S. 12).

Infinitesimalrechnung

Vorarbeiten leistete unser guter Freund Descartes, aber erst Leibniz und Newton haben unabhängig voneinander die Differential- und Integralrechnung erfunden. Damit lassen sich Ableitungsfunktionen bilden, um die Eigenschaften von Funktionen zu untersuchen (der Klassiker: Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Weges nach der Zeit und Beschleunigung die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit). Wenn Oberstufen-Schüler fragen sollten, wozu sie diesen Mindfuck brauchen: Inertialkompasse von Interkontinentalraketen berechnen Eigenposition und Weg zum Einschlagsort mittels Integralrechnung. Sie ist also unerlässlich, wenn auch weiterhin jeder deutsche Abiturient Raketenwissenschaftler werden können kann!

The loneliest Number

Symbol des einen Gottes, seiner Einzigartigkeit (Dtn 6,4) und seines absoluten Einsseins (Joh 10,30; 17,21). Dabei ist aus werbetaktischen Gründen nie die Rede von der Einsamkeit des Einen, der Alles, das Erste und das Einzige ist. Scheinbar logischerweise die älteste Zahl von allen, obschon Hobbymathematiker Schopenhauer gute zwei Jahrtausende nach Parmenides’ 1=alles zeigte, jede Zahl habe ihren Vorgänger als Ursache ihrer Existenz, die 1 also die 0. Was das für Gott und die Welt heißt, keine Ahnung, aber: 0 ist die Anzahl der Elemente der leeren Menge, 1 die Anzahl der leeren Mengen. Mathematischer Urknall mit Descartes: Es gibt ein Ding, das nichts zählt. Dessen Zeichen ist profanerweise fast überall aus dem Strich der paläolithischen Kerbe im Holz hervorgegangen.

Wurzel 2

Alle irrationalen Zahlen sind praktisch.

Unser hochgeschätztes Deutsches Institut für Normung hat das Papierformat A so festgelegt, dass die längere Seite zur kürzeren im Verhältnis Wurzel 2 steht. Drum ist DIN A4 21 x 29,7 cm breit. Schneidet man den Lichtwolf in der Mitte horizontal durch, stehen die längeren und kürzeren Seiten der beiden Hälften immer noch oder wieder im Verhältnis von 1:1,4142… zueinander und entsprechen mit 14,85 x 21 cm DIN A5.

Der Goldene Schnitt

Mit der Konstante Phi lässt sich assymetrisch, doch schön und natürlich teilen: Der kleinere Teil verhält sich gemäß Phi zum größeren wie der größere Teil zum Ganzen, also eine Teilung mit Bezug zum Ganzen. Die einzigartige Verbindung von Symmetrie und Asymmetrie findet sich in Architektur und Kunst wie in der Natur (z.B. Pflanzenwuchs), sogar die Steinkeile des Homo erectus entsprechen ihm wie auch der menschliche Körper. Welche Bedeutung der Goldene Schnitt und das gleichfalls ihm entsprechende Pentagon fürs Lichtwolf-Layout haben, ist in Lichtwolf Nr. 30 nachzulesen.

Wem der Wert mal entfallen ist, kann sich Phi aus der Fibonacci-Reihe (siehe Titelbild in den Winkeln von n ∙ 30°; entdeckt vom Kaninchenzähler Leonardo von Pisa (~1170-1250)) ableiten, deren Zahlen zueinander im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Mit 89:55 kommt man schon auf die 1,618 und wer’s noch genauer braucht, nimmt halt eine größere Fibonacci-Zahl und teilt sie durch ihre Vorgängerin.

Als praktischste ist Phi auch die irrationalste aller Zahlen, weil sie sich am schlechtesten mittels Kettenbruchentwicklung (bei der im Gegensatz zu allen anderen Kettenbrüchen nur die Zahl 1 vorkommt) annähern lässt, was sie zugleich am stabilsten gegen chaotische Einflüsse macht. Wenn Sie schon Muster in der Welt suchen wollen, dann dieses.

Zwo

Dualität, klar. Vorbilder vermutlich: Mama / Papa, Tag / Nacht, Himmel / Erde. Meist Symbol der Gegensätze, zugleich prominentes Symmetrieprinzip von Säugetierkörpern sowie die kleinste kriminelle Vereinigung, drum in der chinesischen Numerologie Symbol für Yin und Yang. 2 ist nicht nur die kleinste, sondern auch die einzige gerade Primzahl.

Trinität

Eins, zwei, Polizei!

Bei den Chinesen Symbol für die Triade Himmel / Erde / Mensch, bei den Christen Vater / Sohn / Heiliger Geist, dreifaltig ist auch das Triptychon, die Trias und der Dreiklang. Kleinste ungerade Primzahl, Herzblatt der Trigonometriker und praktisch für mathematischen Budenzauber: Ist die Quersumme einer Zahl ein Vielfaches von 3, dann ist die zugrundeliegende Zahl durch 3 teilbar (der Knaller auf Fachschaftspartys!).

Pi

Von Thales von Milet als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser festgelegt, von Archimedes auf 22:7 angenähert, 1998 verfilmt, jährlich am 14. März gefeiert. Wie man Pi durch Integrieren der Sinusfunktion herleitet, haben wir Ihnen ja schon in Lichtwolf Nr. 29 gezeigt. Der Chinese Chao Lu ist offizieller Weltrekordhalter im Aufsagen von Pi-Nachkommastellen, von denen er 2005 in 24 Stunden und 4 Minuten 67.890 Stück fehlerfrei aufsagte. Pi hat unendlich viele Nachkommastellen. Somit kommen alle denkbaren Ziffernfolgen irgendwann darin vor. Pi enthält nach dem Komma sowohl die ISSN des Lichtwolf (beginnend an der 33.005.687sten Nachkommastelle) als auch den kompletten Text sämtlicher Ausgaben, wenn man das Alphabet in Ziffern überträgt; die Reihenfolge bei der Zeichenkodierung ist egal, Hauptsache Dezimalsystem. Die Telephonnummer Ihrer großen Liebe finden Sie gleichfalls hinter dem Komma von Pi. Bei der Suche hilft: www.angio.net/pi/piquery

Visualisierung der Nachkommastellenwerte von Pi: Falls Sie ein Muster erkennen können, machen Sie sich mit einer Bohrmaschine oberhalb des linken Ohrs ein Loch in den Kopf – das hilft!

Nichts reimt sich auf…

Allgegenwärtig und beliebt: Vier Weltecken, vier Winde, vier Phasen des Mondes, vier Jahreszeiten, Elemente und Himmelsrichtungen, der vierte hebräische Buchstabe Daleth bedeutet (drum?) „Tür“ hin zum Äußeren.

Als erste Quadratzahl bei Pythagoras beliebt. Mangels Ziffernsystem und Taschenrechner mussten die Griechen mit Zahlwörtern und Kieselsteinchen rechnen. Trotzdem haben sie die Sache mit der Hypotenuse rausgekriegt, nämlich so: 4² = 5² – 3² Damit stand die ewige und harmonische Wahrheit der Geometrie im rechten Winkel, bis die Mathe-Hooligans Bolyai, Lobatschewski und Gauß das Parallelenaxiom wegkickten, konsistente nicht-euklidische Geometrien fanden und damit das Tor zu Relativismus und Postmoderne weit aufstießen. Armer Papst.

 

CH405!!

Chaostheorie ist Zinseszinsrechnung für ganz Harte: Stellen Sie sich vor, mit einem Eimer Wasser auf dem Gepäckträger auf immer exakt gleiche Weise über Kopfsteinpflaster zu radeln. Die Wellenbewegungen sind abhängig von Faktoren wie Geschwindigkeit und Neigung des Fahrrads im Moment des Stoßes, dessen Stärke usw., die alle einzeln messbar sind und in eine geeignete Formel eingesetzt die Wasserbewegung ergäben. Wenn zu den Faktoren nicht auch die Ausgangslage gehörte, die beim ersten Stoß noch das unbewegte Wasser ist, beim zweiten aber schon das Ergebnis des ersten Stoßes. Die Formel zur Berechnung der Wasserbewegung ist rekursiv, bezieht also alle vorangegangenen Ergebnisse mit ein, wodurch sie schnell komplex und bald chaotisch wird. Sie erweist den Wassereimer auf dem Gepäckträger als dynamisches nichtlineares System. Darin können kleinste Parameterabweichungen zu völlig anderen Verlaufsformen führen („Schmetterlingseffekt“). Unterm Mathemikroskop zeigt sich, dass solche Formeln im Diagramm an bestimmten Stellen zwei mögliche Verläufe (Periodenverdopplung) nehmen – die sogenannte Bifurkation. Die erste Feigenbaumkonstante δ gibt das Verhältnis zwischen einem Bifurkationsintervall zum nächsten an. Vorhersagbar ist chaotisches Verhalten damit aber auch nicht. Manchmal ergibt sich ein stabiles Gleichgewicht (z.B. Fixpunkte von Lotka-Volterra-Gleichungen, vgl. Conways Spiel des Lebens), meistens geht’s aber voll in die Grütze (mangels Fixpunkten: menschliche Zivilisation).

Pentabarf

Nicht glauben, Hotdog essen!

Fünf Sinne, bei den Chinesen Symbol für die fünf Weltrichtungen (einschließlich Mitte); fünf Elemente (Holz, Feuer, Wasser, Erde und Metall) und fünf Gebote des Pentabarf (Heil Discordia!), folglich auch das Gesetz der Fünf des großen Lords Omar: Alle Dinge passieren in Fünfen, sind teilbar durch, oder Vielfache von Fünf oder irgendwie direkt oder indirekt für Fünf geeignet. Das Gesetz der Fünf ist niemals falsch. Alles Heil Eris!

Körper

Klingt verdächtig oft nach Geschlechtsverkehr, nicht nur 69, und ist auch sonst sehr handgreiflich, als Verweis nämlich auf die Anzahl der platonischen Körper in vier Dimensionen (in 3D sind’s bloß 5 Eder). Nicht minder an Vorgänge zu später Stunde und infolge von Trinkspielen gemahnt die Flächenanzahl des Würfels, die gleichfalls 6 beträgt, welche eine zweidimensionale Kusszahl ist. Irgendwie auch versaut, wenn 6 als kleinste vollkommene Zahl gilt, weil das Doppelte dieser Zahl gleich der Summe ihrer positiven Teiler ist. Sodom und Gomorrha! (Klar: „Da reute es den Herrn, auf der Erde den Menschen gemacht zu haben, und es tat seinem Herzen weh.“ (1. Mose 6,6)

Sieben

1995 und damit lang nach der binnen Wochenfrist vollzogenen Schöpfung verfilmt wegen der in Babylon außerordentlich beliebten Zahl der Todsünden, Zwerge und Weltwunder. Primzahl, klaro, wird häufiger als Glücks- oder Lieblingszahl genannt denn als Pechzahl. Im siebten Himmel (nach Aristoteles Sitz der Wünsche und Träume) schwebt über anglophonen Gebieten allerdings „cloud #9“. In der Zahl der Schädelöffnungen vereinen sich 3 (Seele, Himmel, Dreieck) und 4 (Leib, Elemente, Quadrat). Durch die Addition der ersten sieben Zahlen erhält man 28, also die Tage eines Mondzyklus. QED. Packen wir lieber unsere Siebensachen und machen uns mit Siebenmeilenstiefeln an Siebenschläfer im verflixten siebenten Jahr über sieben Brücken davon!

 

Infinity Bytes

Nicht 0, nicht 1,

8 Bit sind der Grund des Seins!

Acht Menschen werden mit der Arche gerettet (1 Petr 3,20), die Beschneidung findet am 8. Tag statt (Lev 12,3) und am 8. Tag nach Beginn der Monatsblutung gilt die jüdische Ehefrau wieder als rein (Lev 15). Unsere Wissensgesellschaft fußt auf dieser Zahl: 8 Bit (die je 1 oder 0 sind) ergeben ein Byte (=ein Computerzeichen). Wir neigen dazu, die Datenmenge im Internet für unendlich zu halten, dabei ist sie bloß das Produkt diskreter Rechenoperationen. Bis zum Jahr 2015 soll das Datenaufkommen auf über 65 Exabyte pro Monat steigen. Ein Exabyte enthält 2.500-mal so viele Zeichen wie alle Bücher, die jemals geschrieben wurden. Man verwechsele „zu Lebzeiten unmöglich zu bewältigen“ aber nicht mit unendlich, das ist noch viel gruseliger!

Unendlich ist das, was nicht endlich ist, womit auch Gott nie fertig würde und was sich drum auch nicht „definieren“, sondern nur abstrakt anrufen – also durch die Lemniskate (gekippte 8) als Symbol darstellen und mathematisch behandeln – lässt: Singularität, Ewigkeit, das unendlich Kleine größer Null, oder, na gut, das Apeiron bei Anaximander, Aristoteles, Augustinus, Thomas von Aquin und Heidegger, bestes Beispiel jedoch und überhaupt: Philosophie = ∞

Die neun Zahlen kommen!

Bei den Chinesen Symbol für den Drachen, und der Drachentanz darf bei keinem chinesischen Neujahrsfest fehlen. Überhaupt klingt die 9 in vielen Sprachen („noh, new, neuf, neun“) verdächtig nach „neu“ oder „noch ne Ziffer“, weil hinter ihr die Basis 10 ansteht und die Einerziffer bald auf 0 gesetzt wird.

Als Teiler gefürchtet und faszinierend: Alle Zahlen mit Quersumme 9 (234, 4.005, 111.111.111, usf.) sind durch 9 teilbar. (Oder andersrum: Jede positive natürliche Zahl, die mit 9 multipliziert wird, ergibt nach der Bildung von Quersummen der Zwischenergebnisse zum Schluss die Zahl 9.) Oder man nehme eine beliebige mehrstellige Zahl (z.B. 1.234) und bilde eine weitere aus den Ziffern der ersten in umgekehrter Reihenfolge (4.321). Zieht man die kleinere von der größeren ab, erhält man eine durch 9 teilbare Zahl: 4.321 – 1.234 = 3.087; 3.087 : 9 = 343.

Schneller!

Die Geschwindigkeit eines Gegenstands nimmt im freien Fall gemäß DIN 1305 pro Sekunde um rund 9,81 m/s (etwa 28 km/h) zu. Drum kann, wer in einer 30-Zone unangeschnallt gegen einen Poller fährt, auch kopfüber aus dem dritten Stock springen (sagt der Fahrlehrer).

Die Fallbeschleunigung ist wegen Schwereanomalien nicht überall auf der Oberfläche unseres kartoffelförmigen Planeten gleich und überhaupt sehr theoretisch, da sie zum Beispiel den Luftwiderstand außer acht lässt, dem jedes Fallende ausgesetzt ist. Aber sie ist ein praktisches Maß für die verschieden starke Gravitation: in Ostfriesland wird mit 9,8148 m/s² gen Erdmittelpunkt gestürzt, in Freiburg lässt man sich mit 9,8082 m/s² etwas mehr Zeit.

[Und nicht ein einziges Mal Felix Baumgartner im Text erwähnt!]

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