Der Lichtwelpe: Pi

Heute gibt der liebe Onkel Frost der nicht mehr ganz so kleinen Cosima-Joy (14) tolle Tipps, wie man sich Mathe-Sachen superleicht merken kann und nicht ständig vergisst!

Sehr geehrtes Fräulein Sauerbier,

keineswegs treten Ihre kognitiven Fähigkeiten hinter den Anforderungen zurück, die der moderne Arbeitsmarkt an die mathematische Begabung stellt. Erinnern Sie sich einmal an Topmodel Barbara Meier, so werden auch Sie zweifellos einsehen, dass (pädagogischer) Eros und Gleichschenkligkeit einander stets nahe sind.
Doch auch rocktauglichere Haltungen sollen zu ihrem Recht kommen und hier sind wir bereits bei Ihrem Problem, dem nicht die einfache Lösung einer simplen Antwort (22 durch 7) zu geben ist. Vielmehr war und ist es seither Sinn dieser Seiten, Ihnen, verehrte Kinderschar, die Mittel zur Selbsthilfe zu verschaffen. Damit verbunden sei ein Distinktionsgewinn, ohne den ein aufstiegswilliger Blaustrumpf wirklich nichts als Dreck ist.

Den Weg zu Pi beginnen wir mit dem Ihnen bereits zur Verfügung stehenden Rüstzeug des Satzes des Pythagoras. Außerdem benötigen Sie einen Zahlenkörper mit den rationalen Zahlen und Grundrechenarten nebst Wurzelfunktion; wie Sie einen solchen nach dem Conway-Verfahren aus dem Nichts (=0) konstruieren, können Sie in Lichtwolf Nr. 20 ab S. 12 nachlesen.

Halten wir es einfach und die Schenkel zunächst einmal gleich. Wir legen eine Hypotenuse der Länge 1 fest und gleiche Länge der Katheten, so erhalten wir:

Wegen der bekannten Abhängigkeit der Katheten von einander können wir das erste Dreieck beliebig modifizieren und weitere hinzufügen. Im einen Beispiel sei b nur halb so lang wie die Kathete a aus dem ersten Dreieck; im anderen Beispiel legen wir b willkürlich mit 0,75 fest:

Ganz allgemein lassen sich das Kathetenverhältnis und der Punkt B aus jedem beliebigen a errechnen. Die übrigen Punkte aller konstruierbaren Dreiecke im Koordinatensystem sind festgelegt. A liegt auf dem Ursprung (0 / 0); C liegt immer auf der x-Achse und ist abhängig von der gewählte Länge b (b / 0); B ist abhängig von den Kathetenlängen (b / a). Diese können nun auch als Koordinatenangaben des Punktes B gelesen werden und dann gilt für die Punkte jedes solchen Dreiecks:

Längst werden Sie begriffen haben, dass sich mit Blick auf B eine Funktion herleiten lässt, die sämtliche Punkte B abhängig von der Länge der Kathete b liefert:

Wenn Sie möchten, können Sie spätestens an dieser Stelle eine Abzweigung nehmen und die Sinus-Funktion beweisen. Verweilen wir aber noch ein wenig bei der Funktion, die jeden Punkt B abhängig von der Kathete b ausgibt. Denn ihr Graph beschreibt in unserem Koordinatensystem wie oben gezeigt nichts weniger als ein Viertel des Einheitskreises.

Gewiss schlagen Sie in Ihrem jugendlichen Übermut – eingedenk der Kreiszahlendefinition des Thales – vor, das Kurvenintegral von f(x) im Intervall zwischen 0 und 1 zu errechnen. Den so erhaltenen Umfang des Viertelkreises wollen Sie mit 4 multiplizieren, um hernach den Umfang durch den Durchmesser (=2) zu teilen und so Ihr Pi nach Altgriechen Sitte zu erhalten.
Doch das kann ja nun wirklich jeder Vollhonk und wäre überdies gemogelt! Denn wenn Ihnen schon Pi entfallen ist, dann doch wohl erst recht eine der ältesten und billigsten Definitionen! (Denken Sie dran: Distinktionsgewinn!)

Nehmen wir uns lieber ein Beispiel an Onkel Riemann, der sich etwas Mühe gegeben hat. Gerade Flächen können Sie berechnen, seit Sie in der Förderschule Kästchen gezählt haben. Für die Berechnung des Flächenintegrals unserer Funktion f(x) ist das vollkommen ausreichend. „Aber die Kurve!“, mögen Sie einwenden; vergessen Sie die Scheißkurve und schneiden Sie Krepppapier in fünf Streifen gleicher Breite. Die legen Sie so ins Koordinatensystem, dass sie unten die x-Achse und oben mit der rechten Ecke den Graphen berühren. Dann messen Sie jedes einzelne Rechteck aus, errechnen seine Fläche und addieren den ganzen Summs, fertig ist die Untersumme:

Das ist natürlich noch ein sehr ungenauer Näherungswert für die Fläche zwischen x-Achse und Graph, da haben Sie vollkommen recht! Also bilden wir nach dem gleichen Prinzip noch eine Obersumme: Wieder fünf Streifen zurechtschneiden, dieses Mal so anlegen, das oben links der Streifen den Graphen berührt! Wie Sie sehen, können wir die meisten Werte direkt übernehmen.

Der tatsächliche Flächeninhalt muss irgendwo zwischen 0,6594 und 0,8594 liegen. Das wird Ihnen viel zu ungenau sein. Wir brauchen kleinere Intervalle, also mehr Streifen. Nehmen wir 10, so sehen Unter- und Obersumme so aus:

Wie Sie zweifellos sehen, trägt das Näherungsverfahren erste Früchte: Die Untersumme wird größer, die Obersumme kleiner, je kleinteiligere Intervalle wir verwenden. Die Mittelwerte aus Ober- und Untersummen nähern sich dem tatsächlichen Flächeninhalt immer mehr an:

Das Spiel können Sie nun noch ein Weilchen fortsetzen. Hier im Heft wird der Platz knapp und im Gegensatz zu Ihnen und Onkels wie dem Riemann haben wir nicht so viel Zeit. Darum will ich Ihnen verraten, dass Sie sich mit der weiteren Verkleinerung der Intervalle auf das Flächenintegral des Graphen zubewegen. Um das geradewegs auszurechnen brauchen wir die Stammfunktion von unserem f(x), und weil Sie bis hierher so gut mitgemacht haben, sei sie Ihnen geradewegs verraten und das Integral noch dazu:

Unsere bisherige Mittelwerte lagen ja schon ziemlich nah an der tatsächlichen Viertelkreisfläche. Selbige multiplizieren Sie mit vier und haben ihr Pi:

Damit sollten Sie über das nötige Rüstzeug verfügen, sich jederzeit schnell und bequem Pi herleiten zu können; und wenn auch das nicht hilft, leihen Sie sich halt den gleichnamigen Film aus und befolgen Sie die dortigen Anweisungen zur Eigentherapie!

Mit den besten Wünschen für Casting & Bohrmaschinenkauf grüßt
Ihr Onkel Frost